यदि n geq 1 के लिए,P_n = intlimits_1^e (log x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया है $P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$. माना $\log x = t$,तब $x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$. जब $x = 1$,तब $t = 0$ और जब $x = e$,तब $

Vedclass · Accepted Answer

$-9e$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$. माना $\log x = t$,तब $x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$. जब $x = 1$,तब $t = 0$ और जब $x = e$,तब $t = 1$. अतः,$P_n = \int\limits_0^1 t^n e^t \, dt$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = t^n$ और $dv = e^t \, dt$,तब $du = nt^{n-1} \, dt$ और $v = e^t$. $P_n = [t^n e^t]_0^1 - n \int\limits_0^1 t^{n-1} e^t \, dt = e - n P_{n-1}$. इसलिए,$P_{10} = e - 10 P_9$. साथ ही,$P_9 = e - 9 P_8$. $P_{10}$ के समीकरण में $P_9$ का मान रखने पर: $P_{10} = e - 10(e - 9 P_8) = e - 10e + 90 P_8$. $P_{10} = -9e + 90 P_8$. अतः,$P_{10} - 90 P_8 = -9e$.

यदि $n \geq 1$ के लिए,$P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$ है,तो $P_{10} - 90P_8$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $[0, a]$ पर सतत फलन हैं,इस प्रकार कि $f(x)=f(a-x)$ और $g(x)+g(a-x)=4$,तो $\int_0^a f(x) g(x) d x$ का मान क्या होगा?

$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx =$

यदि ${I_n} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^n}\theta \,d\theta }$ है,तो ${I_8} + {I_6}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(\alpha) = \int_{1}^{\alpha} \frac{\log_{10} t}{1+t} dt, \alpha > 0$ है,तो $f(e^{3}) + f(e^{-3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module